من دلیلم حق شما را مشتری
داد حق دلّالی‌ام هر دو سری
(مثنوی معنوی/ دفتر دوم/575)
«دلیل» به معنی «هادی» و
«راهنما»2 و استدلال به مفهوم طلب دلیل کردن است و «دلاّل» به معنی
آنکه بسیار در طلب دلیل است. پس در تفکر، که خود از استدلال استفاده می‌کند، زمانی که به استدلال روی می‌آوریم، به دنبال دلیل در حرکتیم. همچنین
باید بدانیم که در استدلال منطقی از چه عواملی استفاده می‌کنیم.
«منطق»3 به‌طور سنتی شاخه‌ای از فلسفه بوده است. «ارغنون» ارسطو
منطق را بر حسب «قیاسات»4 ـ استدلال‌های سه‌خطی کوتاه ـ تدوین کرده است. یکی از این
قیاس‌ها عبارت است از:
تمام انسان‌ها میرا هستند.
سقراط انسان است.
بنابراین، سقراط میراست.
بول دریافت که بسیاری از مشخصه‌های5 منطق، مشابه مشخصه‌های جبرند، و به این فکر افتاد که برای
بیان استدلال منطقی، شاخه‌ای از جبر را بنا کند. به‌طور کلی در هر استدلال، از جمله استدلال
ریاضی، از سه عامل «تمثیل»6، «استقرا»7 و «قیاس»8
استفاده می‌کنیم.
طبق تعریف، تمثیل رسیدن از یک
حکم جزئی به حکم جزئی دیگر از طریق یک یا چند شباهت است. مثلاً بگوییم: عدد 3 فرد و اول است، عدد 9 هم فرد
است، پس این عدد هم مانند 3 اول است.
استقرا رسیدن از چند حکم جزئی
به یک حکم کلی است. مثلاً پس از اینکه حکم کردیم عددهای زوج 4 و 6 و 8 و 10 بر 2
بخش‌پذیرند، حکم کنیم تمام عددهای
زوج بر 2 بخش‌پذیر هستند.
پیداست که تمثیل و استقرا به
کار اثبات ریاضی نمی‌آیند.9
و اما قیاس رسیدن از یک حکم کلی
به حکمی جزئی است. مثلاً این حکم کلی را داریم که می‌گوید: تمام عددهای زوج بر 2 بخش‌پذیرند و از آن این حکم را استنتاج می‌کنیم که در نتیجه عدد زوج 32 نیز بر 2
بخش‌پذیر است.
گرچه در ریاضیات از تمثیل و
استقرا استفاده می‌شود، اما برای اثبات یک حکم یا
قضیه، تنها قیاس به کار می‌آید.
منطق ریاضی، آن‌گونه که در «ویکی‌پدیا، دانش‌نامه آزاد» آمده، شاخه‌ای از ریاضیات است که به ارتباط ریاضی و
منطق می‌پردازد و گاه به آن «منطق صوری»
یا نمادین نیز می‌گویند. این نام را جوزپه پئانو،
ریاضی‌دان ایتالیایی بر این رشته علمی
گذاشت.
پی‌نوشت‌ها
1.
نطق خاک و نطق آب و نطق گل / هست محسوس حواس اهل دل / فلسفی که منکر حنانه است /
از حواس انبیا بیگانه است
(مثنوی
معنوی/ دفتر اول/ 80-3279)
2.
دلیل است هادی تو گو رهنمای (نصاب‌الصبیان/ ابونصر فراهی).
3.
logic
4.
syllogisms
5.
characteristics
6.
analogy
7.
induction
8.
deduction
9. در اینجا باید گفت که اولاً این استقرا با استقرای ریاضی، یعنی "mathematical induction" که شرحش را در ریاضی خوانده‌ایم، تفاوت دارد. ثانیاً در منطق قدیم
به این نوع استقرا، «استقرای ناقص» گفته‌اند،
در مقابل «استقرای تام» که به یک معنی همان استقرای ریاضی است که قدما راه اثبات
آن را نمی‌دانستند، و صورت امروزی و دقیق
آن در قرن نوزدهم توسط ریاضی‌دانان چندی، از جمله پئانو،
تنظیم شد. البته بعضی بر آن‌اند که این روش اثبات، برای
اولین بار، توسط ابوبکر کرجی، ریاضی‌دان ایرانی در کتاب «الفخری»،
در حدود سال 1000 میلادی، برای اثبات قضیه دو جمله‌ای و مثلث پاسکال تنظیم شده است.
این
استقرا برای اثبات راستی یک گزاره، به ازای هر عدد طبیعی n، به کار می‌رود، و به این صورت است:
ثابت
می‌کنیم، گزاره P به ازای یک یا چند عدد طبیعی اولیه، یعنی
(0)P، راست است. سپس با فرض راستی P به ازای عدد طبیعی k، یعنی راستی P(k)، ثابت می‌کنیم P به ازای 1+k، یعنی (1+P(k، نیز راست است، و نتیجه می‌گیریم
که P به ازای هر عدد طبیعی n بزرگ‌تر
از آن عددهای طبیعی اولیه، یعنی P(n)، نیز راست است. این مطلب در نماد منطقی به
صورت زیر نوشته می‌شود:
مراجع
•
ارغنون، ارسطو
•
گلستان سعدی
•
نصاب الصبیان، ابونصر فارابی
• The little book
of mathematical PrinciPles, Dr Robert Solomon