من: امروز موضوع دایره از کتاب ریاضی هشتم را آغاز می‌کنیم. امیدوارم مانند گذشته در این فصل هم غیر از موضوع‌هایی که در کتاب هست و یاد می‌گیرید، پایه‌های استدلال شما هم استوارتر بشود. سخنرانی را رها می‌کنم. یک‌راست سراغ کتاب بروید و مطالب یکی دو صفحه نخست را بخوانید و فعالیت‌ها را انجام دهید. بعد نتیجه را با هم بررسی خواهیم کرد.
سمیه (پس از چهار دقیقه): فعالیت‌های اول و دوم خیلی ساده هستند. در اولی خواسته شده که نقطه‌هایی را بررسی کنیم که از نقطه مشخص O به فاصله 2 واحد باشند. در حقیقت در اینجا با شکل کلی دایره آشنا می‌شویم. در دومی هم باید ببینیم یک خط و یک دایره چه حالت‌هایی نسبت به هم دارند. این هم ساده است. یا هیچ نقطه مشترکی ندارند یا تنها یک نقطه مشترک دارند و بالاخره ممکن است که دو نقطه مشترک داشته باشند.
من: تا اینجا همه با سمیه موافق‌اند؟
فرزانه: من فکر می‌کنم یک خط و یک دایره می‌توانند بیش از دو نقطه‌ی مشترک داشته باشند. در حقیقت وقتی خط و دایره همدیگر را قطع می‌کنند، بخشی از خط کاملاً روی دایره قرار می‌گیرد و در واقع خط و دایره در یک پاره‌خط مشترک خواهند بود. مثلاً در شکل 1، خط و دایره در پاره‌خط AB مشترک هستند.
من: می‌بینم که سمیه و فرزانه هر دو طرف‌دارانی دارند. راستش را بخواهید به نظر من هیچ کدام خوب شروع نکرده‌اند. کسی هست که با من موافق باشد؟
لیلا: کاملاً روشن است که تصور سمیه و فرزانه از دایره یکسان نیست. مثلاً فرزانه نقطه O را نیز یکی از نقطه‌های دایره می‌داند، ولی سمیه چنین اعتقادی ندارد. همین اختلاف نشان می‌دهد که باید از جای دیگری شروع می‌کردند.
فرزانه: لیلا درست می‌گوید. باید اول تأکید می‌کردیم که نقطه‌های روی محیط دایره تنها بخشی از نقطه‌های دایره هستند و بقیه نقطه‌های دایره را نباید ندیده گرفت.
سمیه: خود کتاب به طور صریح گفته است که «پنج نقطه را پیدا کنید که از نقطه O به فاصله 2 واحد باشند» و اشاره کرده است که اگر این نقطه‌ها بیشتر و بیشتر بشوند، دایره ایجاد می‌شود. پس همه نقطه‌های دایره باید از مرکز به یک فاصله باشند.
زهرا: سمیه در آغاز گفت که در فعالیت اول «با شکل کلی دایره آشنا می‌شویم» و الان دارد به اشاره‌های کتاب توجه می‌کند. من فکر می‌کنم گرچه تصور او از دایره درست است، ولی «آشنایی کلی با دایره» یا اشاره‌های کتاب به ویژگی‌های نقطه‌های دایره، راهبرد‌های درستی نیستند. خیلی روشن و سرراست باید دایره را تعریف کنیم. مثلاً من پیشنهاد می‌کنم دایره را این طور تعریف کنیم:
«شکلی از صفحه است که همه نقطه‌های آن از نقطه ثابت O که مرکز دایره نامیده می‌شود، به فاصله ثابت r باشند که این مقدار شعاع دایره نامیده می‌شود.»
تعریف زهرا
من: راهبرد زهرا کاملاً درست است و تعریف او هم خیلی بد نیست. تا وقتی تعریف روشنی از دایره نداشته باشیم، طبیعی است که در مورد ویژگی‌های آن اختلاف داشته باشیم. موضوع دیگری هم هست که باید اشاره کنم. فرزانه از نقطه‌های روی محیط دایره صحبت کرد. من این تعبیر را نمی‌پسندم. محیط دایره یک عدد است که قابل محاسبه است. بهتر است از نقطه‌های روی محیط دایره «که یک عدد است» صحبت نکنیم. در عوض «نقطه‌های روی دایره» تعبیری ساده‌تر و بهتر است.
سایه: قبلاً با چندضلعی منتظم آشنا شده‌ایم. این تعریف به نظر من آشناتر است:
«دایره یک بی‌نهایت‌ضلعی منتظم است.»
تعریف سایه
اعظم: درباره بی‌نهایت بارها صحبت کرده‌ایم. قبلاً متوجه شدیم که معنای درست و دقیقی از آن را نمی‌دانیم و نباید آن را به کار ببریم. در کتاب درسی هم تا به حال یادی از آن نشده است.
سعیده: فکر می‌کنم تعریف سایه مشکل بزرگ‌تری هم دارد. چندضلعی‌بودن دایره درست به نظر نمی‌رسد. فکر نمی‌کنم هیچ خطی کاملاً روی دایره باشد. اگر دو نقطه روی دایره باشند، وسط آن دو نقطه حتماً درون دایره خواهد بود. زیرا آن دو نقطه و مرکز دایره رأس‌های یک مثلث متساوی‌الساقین هستند و در این مثلث میانه وارد بر قاعده، ارتفاع هم هست و باید کمتر از ساق‌ها طول داشته باشد. یعنی فاصله آن از مرکز دایره کمتر از شعاع است. پس روی دایره جای ندارد (شکل 2).
من: اعظم و سعیده هر دو درست می‌گویند. منظور ریاضی‌دان‌ها از بی‌نهایت آن چیزی نیست که سایه به کار می‌برد. همچنین سایه منظور خود را از بی‌نهایت توضیح نمی‌دهد. ایرادی که سعیده گرفت بسیار مهم‌تر است. او به خوبی نشان داد که یک پاره‌خط نمی‌تواند کاملاً روی دایره جای گرفته باشد. پس باید به فکر تعریف بهتری باشیم.
اعظم: گفتید که تعریف زهرا خیلی بد نیست! واقعاً منظورتان این است که تعریف او درست نیست؟
من: بله دقیقاً همین منظور را دارم. حالا همگی فکر کنید و شکلی را بیابید که با تعریف زهرا سازگار باشد. ولی همگی اتفاق نظر داشته باشیم که دایره نیست.
من (پس از سه دقیقه): می‌دانم که باورش سخت است، ولی تاکنون دو نفر دو شکل مختلف کشیده‌اند که همگی تأیید خواهید کرد که دایره نیستند، با این حال با تعریف زهرا سازگار هستند.
من (دو دقیقه‌ی بعد): الان خود زهرا و دست‌کم ده دوازده نفر دیگر مشکل تعریف را دیده‌اند. لطفاً زهرا و سایه شکل مورد نظرشان را پای تخته برای همه بکشند (شکل 3).
من: همگی می‌دانیم که هیچ یک از این دو شکل دایره نیستند، با وجود این با تعریف زهرا سازگار هستند. یعنی مثلاً همه نقطه‌های نیم‌دایره AB از نقطه O به یک فاصله هستند. حالا تلاش کنید و تعریف بهتری گیر بیاورید.
فریبا: به همان تعریف زهرا اضافه کنیم که «دایره منحنی بسته‌ای است.»
من: باور کنید که مشکل بزرگ‌تری پیدا خواهد شد. تعریف منحنی بسته کار ساده‌ای نیست. تلاش کنید تا با مفهوم‌های ساده‌تر کار را راه بیندازید.
پریسا: کارمان خیلی عجیب است. همگی دایره را می‌شناسیم و هیچ ابهامی از آن نداریم، ولی داریم دنبال تعریف دقیقی برای آن می‌گردیم. واقعاً این کار ضروری است؟ مگر خط راست یا نقطه را تعریف کردیم؟ همگی آن‌ها را می‌شناختیم و بدون تعریف آن‌ها هندسه را شروع کردیم. چرا با دایره هم چنین رفتاری نکنیم؟ این همه دردسر برای چیست؟
من: مخالفم. ابهام از این بزرگ‌تر چه سراغ دارید که برخی دایره را یک قرص و نقطه‌های درون دایره را نیز روی دایره تصور می‌کردند. در ریاضیات وقتی تصریح شود که نقطه‌ای روی فلان دایره است، همه باید ویژگی دقیق آن نقطه را درک کنند. اما اینکه بخواهیم دایره را نیز مانند نقطه تعریف نکنیم، در صورتی ممکن است که خودبه‌خود شناخته شده باشد و نیازی به تعریف نداشته باشد و به عبارت دقیق‌تر «تعریف‌کردن آن امکان‌پذیر نباشد». ولی دیدید که زهرا شروع کرد و ما هم نقص و ایراد تعریف او را برطرف خواهیم کرد. تعریف دایره امکان‌پذیر است.
مریم: فکر می‌کنم تعریف را یافته‌ام ولی کمی طولانی است:
«دایره به مرکز O و شعاع r شکلی از صفحه است که همه نقطه‌های آن از نقطه O به فاصله ثابت r باشند و هر نقطه صفحه که از نقطه O به فاصله r باشد نیز روی دایره قرار داشته باشد.»
تعریف مریم
من: تعریف مریم عالی است. دست به آن نمی‌زنیم. خوب خوب است. پریسا می‌بینی؟ خیلی ساده و به کمک مفهوم‌هایی که همگی از پیش می‌شناختیم، دایره تعریف شد. حالا هر وقت صحبت از نقطه‌ای روی دایره‌ای به شعاع 9 و مرکز G بشود، همه می‌دانند که آن نقطه از G به فاصله 9 واحد جای گرفته است. همچنین اگر کسی نقطه‌ای یافت که از G به فاصله 9 بود می‌تواند مطمئن باشد که آن نقطه روی دایره یاد شده است. دیگر هیچ ابهامی وجود نخواهد داشت. اگر تعریفی به این روشنی و دقت نداشته باشیم، هیچ استدلالی درباره دایره روشن و دقیق نخواهد بود. هیچ حکمی و جمله‌ای درباره دایره قابل قضاوت و راستی‌آزمایی نخواهد بود.
اما موضوعی دیگر. من سؤال عجیبی پرسیدم و پس از کلی فکر و تأمل زهرا و نرگس و دیگران پاسخ را یافتند و شکل مورد نظر را کشیدند. الان باید بتوانید سؤالی مانند سؤال عجیب من طرح کنید. فکر کنید.
الهام: شکلی بکشید که شامل همه نقطه‌هایی از صفحه باشد که از نقطه O به فاصله 3 باشند، ولی دایره به مرکز O و شعاع 3 نباشد.
من: عالی است. سؤال خیلی خوبی است. یافتن پاسخ هم به عهده خودتان باشد. در عوض به بیان مریم می‌پردازیم. خودش از بیانش راضی نبود. من انتظار دارم به کمک مفهوم‌هایی که پیش‌تر در ریاضیات با آن‌ها آشنا شده‌اید، بتوانید بیان مریم را کوتاه‌تر کنید. فکر کنید و ببینید کجا عبارتی داشتید که خلاصه این دو جمله بود؟
ندا: فکر می‌کنم منظور شما مفهوم مجموعه است. تأکید کرده بودید که معنای «A مجموعه عددهای صحیح بزرگ‌تر از 10 است». این است که هر عضو A باید عدد صحیحی بزرگ‌تر از 10 باشد و نیز هر عدد صحیح بزرگ‌تر از 10 باید عضوی از A باشد. به این ترتیب می‌توانیم دایره را چنین تعریف کنیم:
«دایره به مرکز نقطه O و شعاع r مجموعه‌ای از نقطه‌های صفحه است که از نقطه O به فاصله ثابت r باشند.»
من: بسیار عالی است. کار بزرگی کردید. فهم دقیقی از مجموعه داشتید و الان توانستید با استفاده از آن مفهومی دیگر را بیان کنید. وقتمان تمام است. دوباره تأکید می‌کنم که استدلال گنگ نیست و باید روشن و صریح باشد. بنابراین باید مراقب باشیم و در استدلال تعبیرهای گنگ و مبهم به کار نبریم.