اگر باقیمانده تقسیم عدد صحیحی مانند a ، بر عدد صحیحی مانند b (که نمی‌تواند صفر باشد) صفر شود، می‌گوییم عدد a بر عدد b بخش‌پذیر است، یا عدد b یک مقسوم‌علیه a است، یا b یک شمارنده a است.
مثال۱. باقیمانده تقسیم ۱۲ بر 4 برابر صفر است، پس ۱۲ بر 4 بخش‌پذیر است، یا 4 یک مقسوم‌علیه یا شمارنده ۱۲ است.
مثال۲. باقیمانده تقسیم ۲۳ بر 5 برابر ۳ است، پس ۲۳ بر 5 بخش‌پذیر نیست، یا 5 شمارنده یا مقسوم‌علیه ۲۳ نیست.
نوبت شما: آیا 35 بر ۷ بخش پذیر است؟ چرا؟
آیا عدد 35342 بر ۷ بخش پذیر است؟ چرا؟
معلوم است که پاسخ‌دادن به اولی از دومی راحت‌تر است، زیرا هر قدر تعداد رقم‌ها بیشتر باشد، مشخص است که عمل تقسیم طولانی‌تر خواهد بود. حالا فکر کنید اگر بخواهیم بخش‌پذیری یک عدد مثلاً پانزده رقمی را بر عددی دیگر آزمایش کنیم، کار تقسیم چقدر طولانی‌تر خواهد بود. به خاطر همین، بهتر است راه‌های میان‌بری برای آزمایش بخش‌پذیربودن یا نبودن بر بعضی عددها را یاد بگیریم تا راحت‌تر و سریع‌تر بتوانیم پاسخ دهیم. شما در کلاس ششم، راه‌های میان‌بری را برای بخش‌پذیری بر ۲، ۳، ۹ و 5 یاد گرفته‌اید. یاد گرفتید که:
- عددی بر ۲ بخش‌پذیر است که رقم یکان آن زوج، یعنی 0، ۲، 4، 6 یا ۸ باشد؛ مانند 8356، 324 و 5467838.
- عددی بر ۳ بخش‌پذیر است که مجموع رقم‌های آن بر ۳ بخش‌پذیر باشد. مثلاً 32856 بر ۳ بخش‌پذیر است، چون مجموع رقم‌های آن 24 می‌شود و 24 بر ۳ بخش‌پذیر است. یا مثلاً 54678329 بر ۳ قابل قسمت نیست، چون مجموع رقم‌هایش 44 می‌شود و 44 بر ۳ بخش‌پذیر نیست. البته می‌توانیم مجموع رقم‌های 44 را هم جمع کنیم که می شود ۸، و ۸ بر ۳ بخش‌پذیر نیست.
- عددی بر 5 بخش‌پذیر است که رقم یکانش 0 یا 5 باشد؛ مانند 4530 و 5678945.
حالا می‌خواهم روش‌های آزمایش بخش‌پذیری بر عددهای 4، ۷ و ۱۱ را برایتان توضیح دهم تا هر زمان لازم داشتید، دیگر مجبور به انجام عمل تقسیم نباشید.
بخش‌پذیری بر 4
نکته: عددی بر 4 بخش‌پذیر است که عدد حاصل از دو رقم یکان و دهگان آن بر 4 بخش‌پذیر باشد.
مثال۱. عدد 3528 بر 4 بخش‌پذیر است، زیرا عدد دو رقمی ساخته‌شده از رقم‌های یکان و دهگان آن یعنی ۲۸ بر 4 بخش‌پذیراست.
4÷3528
۷=4÷۲۸
مثال ۲. استفاده از این نکته کار را خیلی راحت‌ترمی‌کند. مثلاً برای تشخیص بخش‌پذیربودن عدد 10رقمی 1458966753 بر 4، ما فقط با دو رقم سمت راست، یعنی 53، کار داریم. چون 53 بر4 بخش‌پذیر نیست، پس عدد 1458966753 هم بر4 بخش‌پذیر نیست.
نوبت شما: دور عددهایی را که بر 4 بخش‌پذیر هستند، خط بکشید.
3456، 123679، 45670340، 825، 1344، 986565 و 76536.
بخش‌پذیری بر ۷
نکته: تشخیص بخش‌پذیری بر ۷ کمی پیچیده است، پس خوب باید دقت کنید. ابتدا رقم یکان عدد را حذف می‌کنیم. سپس دو برابر رقم یکان را از عدد حاصل از بقیه رقم‌ها کم می‌کنیم. اگر عدد حاصل بر ۷ بخش‌پذیر بود، نتیجه می‌شود که عدد اصلی نیز بر ۷ بخش‌پذیر است. این قاعده را می‌توان چند بار هم تکرار کرد.
مثال۱. عدد 672 را در نظر می‌گیریم. رقم یکان یعنی ۲ را حذف می‌کنیم؛ می‌ماند 67. حالا دو برابر رقم یکان، یعنی 4 را از 67 کم می‌کنیم که می‌ماند 63. چون 63 بر ۷ بخش‌پذیر است، پس 672 بر ۷ بخش‌پذیر است.
مثال۲. عدد 7543 را در نظر می‌گیریم. رقم یکان یعنی ۳ را حذف می‌کنیم، عدد 754 می ماند. حالا دو برابر رقم یکان یعنی 6 را از 754 کم می کنیم، جواب می شود 748. حالا دو راه داریم: یا 748 را بر ۷ تقسیم کنیم تا بفهمیم که بر ۷ بخش‌پذیر است یا نه، یا اینکه این قاعده را باز تکرار کنیم. من راه دوم را انتخاب می‌کنم. رقم یکان 748 یعنی ۸ را حذف می‌کنم که می‌ماند 74. دو برابر ۸، یعنی 16 را از 74 کم می‌کنم؛ می‌ماند 58. معلوم است که 58 بر ۷ بخش‌پذیر نیست، پس 748 هم بر ۷ بخش‌پذیر نیست و 7543 هم بر ۷ بخش‌پذیر نیست.
نوبت شما: دور عددهایی را که بر ۷ بخش‌پذیرند، خط بکشید. برای تشخیص، از روش بالا استفاده کنید و سپس می‌توانید با انجام عمل تقسیم، از درستی و کارآیی روش بالا مطمئن شوید. هر چند درستی این روش‌ها اثبات ریاضی دارند که شما در دوره دوم متوسطه می‌توانید آن‌ها را یاد بگیرید. ۹۸۳، 5999، 4859، 6741، 3702748 و 14582.
بخش‌پذیری بر ۱۱
نکته ۱. هر عددی که تمام رقم‌های آن یکسان باشند، به شرط اینکه تعداد رقم‌هایش زوج باشد، بر ۱۱ بخش‌پذیر است.
مثال ۱. عدد ۳۳۳۳ بر ۱۱ بخش‌پذیر است، چون همه رقم‌های آن ۳ است و نیز تعداد رقم‌هایش زوج است. عدد 55555555 هم بر ۱۱ قابل قسمت است. شما هم چند مثال بیابید.
نکته ۲. برای تشخیص اینکه یک عدد بر ۱۱ قابل قسمت است یا نه، ابتدا رقم‌های عدد مورد نظر را یک در میان به دو دسته تقسیم می‌کنیم. سپس مجموع رقم‌های هر دسته را حساب می‌کنیم و بعد مجموع‌ها را از هم کم می‌کنیم. اگر این تفاضل صفر باشد، یا بر ۱۱ بخش‌پذیر باشد، عدد اصلی نیز بر ۱۱ بخش‌پذیر است.
مثال ۲. عدد 345678091 را در نظر می‌گیریم. به جای اینکه این عدد را بر ۱۱ تقسیم کنیم ، از راه میان‌بر بالا استفاده می‌کنیم. این عدد ۹ رقم دارد. از سمت چپ شروع می‌کنیم و یک در میان، این ۹ رقم را به دو دسته تقسیم می‌کنیم.
رقم‌های دسته اول: ۳، 5، ۷، 0 و ۱
رقم‌های دسته دوم: 4، 6، ۸ و ۹
رقم‌های هر دسته را جمع می‌کنیم. مجموع رقم‌های دسته اول می‌شود 16. مجموع رقم‌های دسته دوم می‌شود ۲۷. این دو را از هم کم می‌کنیم: ۱۱=16ـ۲۷. معلوم است که ۱۱ بر ۱۱ بخش‌پذیر است. پس عدد 345678091 هم بر ۱۱ بخش‌پذیر است.
345678091
۱ ۹ 0 ۸ ۷ 6 5 4 ۳
16=3+5+7+0+1
27=4+6+8+9
11=16-27
1=11÷11
نوبت شما: دور عددهایی را که بر ۱۱ بخش‌پذیرند، خط بکشید:
6666666، 8635، ۹۹۹۹۹۹۹۹، 820402، 87694321، ۱۱۱۱۱۱ و 502458.