ماتریس های خودمعکوس

ضمن تشکر از نویسنده محترم جناب آقای جابر مختاری دهقادی، لازم است قدردان زحمت جناب آقای دکتر بابلیان برای بازسازی این مقاله باشم.

سردبیر

مقدمه:

ماتریسی که تعداد سطر وستون آن با هم برابر باشند را ماتریس مربعی گویند. می‌دانیم ماتریس‌های مربعی که دترمینان غیرصفر دارند معکوس‌پذیرهستند.

اگر معکوس A با خودش برابر باشد داریم:

بنابراین اولین شرط این است که دترمینان ماتریس 1 یا 1- باشد.

ماتریس 2×2:

می‌دانیم که درماتریس‌های خودمعکوس مانند A، دترمینان1 ± است، یعنی دترمینان در این نوع ماتریس‌ها، دو حالت دارد.

حالت اول: اگر دترمینان 1+ باشد داریم:

                                 (1)

لذا  و  تنها ماتریس‌های خود معکوس با دترمینان یک هستند.

حالت دوم: درصورتی‌که دترمینان 1- باشد، با حل دستگاهی شبیه به (1)

ماتریس  که b ≠0 حاصل می‌شود که خود معکوس است.

مثلاً اگرa =2 وb =3 آن‌گاه

ماتریس خود معکوس   حاصل می‌شود. لذا بی‌نهایت از این ماتریس‌های 2×2، می‌توان به‌دست آورد.

برای ماتریس 3×3

b≠0 و دلخواه و a دلخواه ماتریسی خود معکوس است. بنابراین، بی‌نهایت ماتریس خود معکوس از مرتبه 3×3 داریم.

برای ماتریس 4×4:

ماتریس را به بلوک‌های 2×2 افراز می‌کنیم. فرض کنید ماتریس A_2×2 خود معکوس و O_2×2 ماتریس صفر باشد. در این صورت ماتریس‌هایی به شکل زیر معکوس‌پذیر هستند

لذا ماتریس‌های مرتبه زوج را می‌توان به‌صورت 2×2 افراز کرده و مانند فوق، ماتریس «خود معکوس» معرفی کرد.

ماتریس 5×5

مثال:

ماتریس 6×6 خود معکوسی که می‌توان معرفی کرد، به‌صورت زیر است

و به همین صورت از هر مرتبه‌ای، می‌توان ماتریس خود معکوس نوشت.

این مقاله کاری کاملاً تحقیقی بوده و از هیچ منبعی استفاده نشده است. البته ممکن است ماتریس‌های ، یافت به گونه‌ای که درایه صفر نداشته باشند.