رویکردهای مختلف به آموزش مثلثات: مقاله ارائه شده در ۴۹امین کنفرانس ریاضی ایران- شهریور ۱۳۹۷، دانشگاه علم و صنعت ایران

مقدمه
گهگاهی وقتی به قدرت مثلث فکر می‌کنم، خستگی‌ام در کار کردن با ریاضی، از بین می‌رود. این سه پاره‌خط، دارای چه قدرت جادویی هستند که تمام خطوط و دوایر و نقاط و ... که با این موجود سروکار دارند، به شکلی با هم رابطه‌ای زیبا دارند.
شهنی کرم زاده (۱۳۸۹)

مثلثات، موضوع مهمی در برنامه درسی ریاضیات دبیرستان است و به دلیل نقش برجسته‌ای که همیشه در ایران داشته، به گفته رضائی (۱۳۹۳)، مطالعه موضوعی سیر تحولات تاریخی مثلثات در برنامه درسی، به نوعی می‌تواند بیانگر سیر تحولات برنامه درسی ریاضی در ایران باشد. وی توضیح می‌دهد که در ابتدای فعالیت دارالفنون، نخستین کتاب مستقل مثلثات با عنوان «اصول مثلثات مستقیمئالخطوط»، توسط عبدالغفار نجم‌الدوله (۱۲۹۰ هجری قمری) نگاشته شد. با وجود این، در سیر تحولات برنامه درسی ریاضی، مثلثات به‌عنوان یک درس مستقل، جایگاه خود را از دست داد و در سال ۱۳۷۱، با تغییر نظام آموزش متوسطه در ایران، محتوای ریاضی کتاب‌های مجزا از جمله مثلثات؛ بدون از دست دادن هویتشان؛ در دوره متوسطه، با هم تلفیق شدند.
مثلثات به صورت معناداری، استدلال‌های نموداری، هندسی و جبری را به هم پیوند می‌دهد. وجود اشتباهات مفهومی و بدفهمی‌ها، دانش‌آموزان را در حل مسئله‌های مثلثاتی، دچار مشکل نموده و باعث می‌شود حتی برای حل بعضی از مسائل معمولی ریاضی که دانش مورد نیاز را هم برای حل آن‌ها در اختیار دارند، به نتیجه نرسند و تلاش آن‌ها، با شکست مواجه گردد (علامه و گویا، ۱۳۹۳). ولی با وجود اهمیت مثلثات و دشواری‌های نهفته در یادگیری آن، تحقیقات محدودی روی این مبحث انجام شده است (وبر، نات و اِویتس۱، ۲۰۰۸). با توجه به جنبه‌های قابل تحقیق در این مبحث، در این مقاله سعی بر این است که رویکردهای آموزشی به روابط مثلثاتی، یعنی مثلثات به‌عنوان نسبت‌ها و مثلثات به‌عنوان تابع، معرفی شوند و از این زاویه نگاه، برنامه درسی مثلثات دوره متوسطه به‌خصوص کتاب‌های درسی ریاضی (۱) پایه دهم رشته‌های تجربی و ریاضی- فیزیک (امیری و همکاران، ۱۳۹۶)، بررسی شوند. دلیل استفاده معادل از برنامه درسی و کتاب درسی این است که در ایران، کتاب‌های درسی در سطح «ملی» هستند و برای هر موضوع درسی، یک و تنها یک کتاب درسی تولید می‌شود. از طرف دیگر، هنوز راهنمای برنامه درسی ریاضی، به تصویب نهایی نرسیده است. در نتیجه، می‌توان با اندکی تساهل و تسامح، از برنامه درسی ریاضی و کتاب درسی ریاضی، به صورت معادل استفاده نمود.


روابط مثلثاتی به‌عنوان «نسبت»ها
در رویکرد «نسبت‌ها» به مثلثات، با داشتن یک مثلث قائم‌الزاویه با طول اضلاع مشخص و یک زاویه حاده، روابط مثلثاتی به عنوان نسبت‌هایی از اضلاع، معرفی می‌شوند. اهمیت و کاربرد این رویکرد به حدی بوده که در روند شکل‌گیری مثلثات، تمام نسبت‌های اضلاعِ متمایز این آجر بنای چندضلعی‌ها، مسمّا و خالق شاخه زیبای مثلثات شده‌اند.

در این رویکرد، دانش‌آموزان باید مثلث قائم‌الزاویه و ارتباط آن را با روابط عددی درک کرده و در به کار بردن نمادها نیز مهارت پیدا کنند که این ترکیب، بسیاری از آن‌ها را با مشکل مواجهه می‌کند. علامه و گویا (۱۳۹۳، به نقل از مور۲، ۲۰۱۰)، اظهار کرده‌اند که به احتمال زیاد، مشکلات دانش‌آموزان در توسعه روابط مثلثاتی، چند وجهی بودن دانش لازم برای درک آن‌هاست. دانش‌آموزان با درک نسبت‌های مثلثاتی و کمک گرفتن از ماشین حساب، قادر خواهند بود تا طول اضلاع مجهول، زاویه مجهول و در مسائل کلامی، با مدل‌سازی مسئله به کمک مثلث قائم‌الزاویه، مقادیر مجهول مسئله را بیابند. برای مثال، برآیند بردارها در فیزیک نیز به چنین درکی از توابع مثلثاتی نیازمند است. استانداردهای ریاضیات مدرسه‌ای که توسط «شورای ملی معلمان ریاضی» (NCTM، ۲۰۰۰) تدوین شده، بر این نکته تأکید دارد که درک یک عمل، شامل توانایی تخمینِ نتیجه‌ای از آن عمل هم هست. به‌عنوان نمونه درک کسرها، مستلزم این است که آنان بدانند که ، تقریباً برابر ۲ است، زیرا مقدار تقریبی هر کسر، ۱ است. البته درک «نسبت»ها به تنهایی، دانش‌آموزان را قادر نمی‌کند که مثلاً، ○sin۱۵ را تقریب بزنند. زیرا با این رویکرد، تنها زمانی می‌توان این مقدار را به دست آورد که دو ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه با زاویه○۱۵، داده شده باشد. از این گذشته، فقط با درک سینوس به‌عنوان نسبت، دانش‌آموزان نمی‌توانند همه چیز را درباره روابط مثلثاتی درک کنند. برای مثال، آن‌ها برای اینکه تعیین کنند در کدام ربع از صفحه مختصات، سینوس صعودی است، یا اینکه بتوانند نمودار sin۲x را رسم کنند، به دانش بیشتری در زمینه‌های دیگر، نیاز دارند. برای نمونه، بسیاری از مسئله‌های مربوط به درس حسابان مانند تعیین مشتق sinx، تنها با درک نسبت‌های مثلثاتی، قابل انجام نیستند و دانش‌آموزان برای حل آن‌ها، لازم است که درک تابعی نیز از مثلثات، داشته باشند (وبر، نات و اِویتس، ۲۰۰۸). کندال و استیسی۳(۱۹۹۷) پس از بررسی نقاط قوت و ضعف دو رویکرد به تدریس مثلثات؛ یکی به‌عنوان نسبت و دیگری از روی دایره مثلثاتی، به این نتیجه رسیدند که رویکرد «نسبت»ها به مثلثات، درک جامعی از توابع سینوس و کسینوس در دانش‌آموزان، ایجاد نمی‌کند.



رویکرد تابعی به مثلثات (با استفاده از دایره مثلثاتی)
در این رویکرد، دایره مثلثاتی در صفحه دکارتی، رسم یک زاویه با اندازه مشخص در دایره مثلثاتی و نسبت‌های مثلثاتی به‌عنوان تابع، معرفی می‌شوند. به عبارتی، این رویکرد توابعی را معرفی می‌کند که اندازه زاویه را به‌عنوان «ورودی» در نظر می‌گیرد و آن را به «مقداری حقیقی»، می‌نگارد.

دانش‌آموزان برای محاسبه مقادیر و تخمین توابع مثلثاتی، یک رویه هندسی را یاد می‌گیرند و تابع بودن را در این فرایند، یاد می‌گیرند. تجربه تدریس نویسندگان شاهدی بر این ادعاست که استفاده از این رویکرد، کمک می‌کند تا مشکلاتی که دانش‌آموزان در درک و فهم توابع مثلثاتی دارند، کاهش یابد و به تدریج، به فهم عمیق‌تر منجر شود.
با این حال، وبر، نات و اِویتس (۲۰۰۸)، شتاب‌زدگی را در استفاده از رویکرد دایره مثلثاتی، «روش‌های سنتی معرفی توابع مثلثاتی» می‌داند. همچنین، هولووِل۴ (۱۹۹۷، نقل شده در وبر، نات و اِویتس، ۲۰۰۸) نیز در بررسی چندین کتاب درسی جبر، مثلثات و هندسه دبیرستانی که بسیار مورد توجه بوده و بیش از بقیه برای تدریس انتخاب شده بودند، این نکته را آشکار ساخت که روابط مثلثاتی، ابتدا به‌عنوان «نسبت»، به دانش‌آموزان تدریس می‌شود (به‌عنوان نمونه در یک مثلثِ نام‌گذاری شده، sinα به‌صورت  یا به‌صورت «مقابل» بر «وتر» تعریف می‌شود) و از آنان خواسته می‌شود تا به کمک نسبت‌های مثلثاتی، تکلیف‌ها را انجام دهند و بعد از آن، انتظار می‌رود که بتوانند مسائل کلامی مثلثاتی را حل کنند. در کتاب‌های مورد اشاره، پس از آنکه دانش‌آموزان، این نسبت‌ها را آموختند، بعد مدل دایره مثلثاتی معرفی می‌شود. آنگاه در این مرحله، از دانش‌آموزان می‌خواهندکه انجام عملیات با یک رویه خاص را برای یافتن سینوس و کسینوس زاویه داده شده، «تجسم کنند» (مانند دوران به اندازه r واحد روی دایره مثلثاتی، و یافتن عرض و طول نقطه توقف). با این حال در آن کتاب‌ها، فرصت به کار بردن رویه‌ها برای دانش‌آموزان، ایجاد نشده است. تمرین‌ها هم به ندرت نیازمند به کارگیری یک رویه همراه با درک عملیات مثلثاتی است. در واقع حل بیشتر تمرین‌ها، تنها نیازمند دانستن مفهوم «نسبت» در عملیات مثلثاتی و به کاربردن تکنیک‌های جبری است (وبر، نات و اِویتس، ۲۰۰۸). علاوه بر این‌ها، محققان دیگری هم این نکته را خاطرنشان کرده‌اند که رویکردهای سنتی، بر درک روابط مثلثاتی به‌عنوان نسبت تأکید دارند و دانش‌آموزان را قادر به درک آن‌ها به‌عنوان تابع، نمی‌کنند (کندال و استیسی، ۱۹۹۷).



معرفی مثلثات در کتاب درسی ریاضی پایه دهم (۱) رشته‌های تجربی و ریاضی- فیزیک
در برنامه درسی ریاضی دوره دوم متوسطه و به‌طور مشخص کتاب ریاضی پایه دهم رشته تجربی و رشته ریاضی- فیزیک (امیری و همکاران، ۱۳۹۶)، به‌صورت گذرا، این رویکرد هندسی ارائه شده است؛ همان پدیده‌ای که وبر، نات و اِویتس (۲۰۰۸)، آن را «روش‌های سنتی معرفی توابع مثلثاتی» نامیده‌اند.
در چینش محتوای کتاب ریاضی پایه دهم، مثلثات در فصل دوم و تابع، در فصل پنجم آمده است که این تقدم، باعث شده که عملاً، مثلثات جایگزین اصطلاح رایج «توابع مثلثاتی» شده است. در حالی که اگر ابتدا فصل تابع می‌آمد و بعد فصل مثلثات قرار می‌گرفت، امکان معرفی و تجربه کردن دانش‌آموزان با مفهوم روابط مثلثاتی به معنای«توابع مثلثاتی»، بیشتر فراهم می‌شد. با پرداختنِ بیشتر به رویکرد هندسی به مثلثات بر مبنای دایره مثلثاتی و ایجاد فرصتِ تجربه کردن عملی در کلاس درس برای دانش‌آموزان، از طریق انجام فعالیت‌های دقیق طراحی شده با مشارکت هم در گروه‌های کوچک، آنان می‌توانند «ارتباط و اتصال۵» بین مفاهیم ریاضی را به درستی درک کنند و در نتیجه، به فهم منسجم‌تری از مثلثات، برسند.
تال، توماس، گِری و سیمپسون۶ (۲۰۰۰) در تحقیقات خود، به این نتیجه رسیدند که دانش‌آموزان، بدون کسب ورزیدگی در به کار بردن یک رویه در عمل، به سختی می‌توانند تصوری از آن داشته باشند. در صورتی که پس از اولین به کارگیری، فهم دانش‌آموزان از آن رویه نیز، عمیق‌تر می‌شود و بدین سبب از نظر وی، در ارتقای درک مثلثاتی دانش‌آموزان، رویکرد هندسی موفق است. با وجود این، تال، توماس، گِری و سیمپسون (۲۰۰۰) بر این نکته تأکید کرده‌اند که اگرچه این رویکرد اثربخش است، ولی شروع آموزش مثلثات به کمک دایره مثلثاتی به تنهایی، تضمین‌کننده یادگیری عمیق و مفهومی مثلثات نیست. به باور آنان، مهم است که هم‌زمان، به دانش‌آموزان فرصت داده شود که روابط مثلثاتی مانند سینوس و کسینوس را هم به صورت «نسبت»، ببینند و به‌طور عملی، روش‌های هندسی را به کار ببرند و با بازتاب بر مفاهیم مثلثاتی از هر دو جنبه و تلفیق آن‌ها، فهمشان عمیق‌تر شود. در حقیقت، یافته اصلی تال، توماس، گِری و سیمپسون (۲۰۰۰) و نتایج پژوهش وبر، نات و اِویتس (۲۰۰۸) مؤید این نظر است که شروع آموزش مثلثات، با تلفیق دو رویکرد «نسبت» یا «هندسی» و «تابع»، از نظر آموزشی، مناسب‌تر است. از نگاه وبر، نات و اِویتسر (۲۰۰۸)، جنبه جذاب رویکرد هندسی این است که اجرای آن، نیازی به تغییر جدی در روند تدریس و کلاس درس را ندارد. به عبارتی این رویکرد، استفاده از تکنولوژی خاص یا آموزش‌های قبل از خدمت ویژه‌ای را نمی‌طلبد. در حالی که بالقوه، توانایی کمک به دانش‌آموزان را برای تعمیق درک مفاهیم مثلثاتی، دارد.

نویسندگان این مقاله در تدریس فصل مثلثات، نادیده گرفتن این یافته‌ها و تأکیدات پژوهشی را در تألیف کتاب ریاضی (۱) پایه دهم رشته‌های تجربی و ریاضی- فیزیک، به وضوح دیده و جای خالی آن را حس کرده‌اند. به‌خصوص، طرح شیب خط و روابط مثلثاتی، امکان ایجاد درک منسجمی از مفاهیم فصل مثلثات را برای دانش‌آموزان، دشوارتر کرده است. همچنین در حال حاضر، مشکل ایجاد شده در پایه دهم، در پایه یازدهم، خود را نشان داده که نتایج آزمون‌ها نیز، گواهی بر این ادعاست.



سخن پایانی
این مقاله را با تحلیل تمرین ۵ کتاب ریاضی پایه دهم که مربوط به رویکرد نسبتی به مثلثات است، به پایان می‌بریم. برای حل این تمرین، از رویکرد تلفیقی یعنی استفاده از «نسبت» و «تابع» برای شروع آموزش مثلثات، استفاده کرده‌ایم.
سؤال (۵)، صفحه ۳۶، (شکل (۱)):
ایده اولیه قابل انتظار برای حل این مسئله، به این صورت است:

ولی محاسبه sin۱۲۰، جزو انتظارات رویکرد «نسبت»ی نیست و این امر، مشکل‌آفرین است. راه‌حل‌هایی را که جهت رفع مشکل، به استناد یافته‌های پژوهشی و تجربه تدریسی خود پیش‌بینی کرده‌ایم، در جدول صفحه قبل نمایش داده‌ایم.
سپاسگزاری: از استاد ارجمند سرکار خانم دکتر سهیلا غلام‌آزاد که مقاله وبر، نات و اِویتس (۲۰۰۸) را به نویسندگان معرفی کردند و مقاله را چند بار خوانده و نقد کردند و نکات مهمی را برای بهبود مقاله تذکر دادند، تشکر می‌کنیم.