چکیده
توجه ویژه به مثال‌ها، در افزایش توانمندی یادگیری و توسعه مهارت حرفه‌ای معلمان ریاضی، مفید و مؤثر است. کاربرد وسیع مثال‌ها از زمان دور، در متون ریاضی ثبت شده و نشان‌دهنده اهمیت و اقبال عمومی، نسبت به درک مفاهیم از طریق مثال‌های آشناست تا از این طریق، تجرید ریاضی ملموس شود. تعریف‌ها کلی و انتزاعی‌اند و از آن‌ها به‌عنوان مرجع استفاده می‌شود، در صورتی که معناها عموماً به کمک مثال‌ها شکل می‌گیرند. معناهای عمیق، از طریق تمرکز بر ورزیدگی با مثال‌های آشنا بیرون می‌آیند و یادگیرندگان، از طریق مثال‌های ملموس، استنباط و تعمیم، مفاهیم را بازسازی می‌کنند. مثال‌ها می‌توانند مانند ابزار تعادل فرهنگی بین یادگیرندگان و مفاهیم، یا نظریه‌ها و تکنیک‌های ریاضی باشند. ابزار مهمی برای ایجاد ارتباط با ایده‌های انتزاعی ریاضی و ارتباط‌ها و تبادل‌های ریاضی یک فرد با خود و دیگران است. با توجه به اهمیتی که مثال‌ها در جریان یاددهی ـ یادگیری ریاضی دارند، در این مقاله، چند طبقه‌بندی از مثال‌های ریاضی ارائه شده‌اند.
مقدمه
یکی از روش‌های کلیدی برای دسترسی ممکن به ایده‌های مجرد ریاضی و
یا گاهی شهودی‌تر ساختن مفاهیم برای فراگیرندگان، استفاده از مدل‌های متفاوت و متنوع ارائه مثال‌هاست [۷]. از این وسیله ارتباطی به منظور توضیح و بحث و گفت‌وگو در ریاضی استفاده می‌شود [۵]. از طریق مثال، معلم‌ها به دانش‌آموزان در تعمیم و ساخت درک خود از محتوای ریاضی کمک می‌کنند [۶]. زاسلاوسکی و زودیک (۲۰۰۷) استدلال می‌کنند که شناخت مثال، دانشی مهم و مورد نیاز در آموزش ریاضیات است، با این حال، معلم‌های ریاضی، یا در دوران خدمت و یا قبل از خدمت، به‌طور کامل با این دانش آشنا نمی‌شوند. فرض را بر این قرار می‌دهند که همه معلم‌های ریاضی از طریق تجربه تدریس، قادر به ساختن دانش خود در مثال‌های ریاضی خواهند بود. با وجود این، همه معلم‌ها نمی‌توانند از تجربه خود یاد بگیرند [۳و۴].
مثال‌ها در آموزش ریاضی فقط به یک فرم از سؤال و یا مثال‌های کار شده محدود نمی‌شوند، بلکه در بسیاری موارد به‌عنوان توان تفکر مطرح هستند. واتسون و میسون (۲۰۰۵) در کتاب خود، ریاضی به‌عنوان یک فعالیت سازنده مثال‌ها را به‌عنوان هرچه که یادگیرنده ممکن است آن را تعمیم دهد، تعریف می‌کنند. طبق این تعریف گسترده، مثال‌ها می‌توانند تقریباً در هر شکلی، مانند چهره، تصویر کلامی، سؤال، حالت، تصویر پویا، مسئله و دیگر چیزها باشند. هر شکل مثال که معلمان از آن‌ها استفاده می‌کنند، برای کمک به دانش‌آموزان در مورد تعمیم است. اینکه دانش‌آموزان تا چه حد می‌توانند یک ایده ریاضی را درک کنند، به مثالهایی بستگی دارد که معلم‌ها مطرح می‌کنند [۶و۹].
محتوای مثال و روش معلم، توجه دانش‌آموزان را به سمت این محتوا در جهت درک آن هدایت خواهد کرد. مثال‌های ریاضی و اینکه چگونه از آن‌ها استفاده می‌شود، تحت‌تأثیر درک ریاضی دانش‌آموزان قرار دارد. از این‌رو، انتخاب مثالهایی که بهترین فرصت‌های یادگیری را ارائه می‌دهند و پس از آن، پرداختن به این مثال‌ها به شیوه‌ای که به بهترین وجه برای دانش‌آموزان مناسب باشد، به عهده معلم ریاضی است [۷]. درک و تصور معلم ریاضی از مثال و آگاهی از جایگاه آن در آموزش و نیز مهارت او در ارائه و به‌کارگیری یک مثال آموزشی، یکی از عامل‌های مهم و تأثیرگذار بر فرایند تدریس ریاضی است.
طبق نظر محققان آموزش ریاضی، مثال‌های آموزشی ریاضی را از نظر فرایند تولید، ماهیت و نوع کاربردشان می‌توان در طبقه‌بندی‌های متفاوت قرار داد که در این مقاله به بعضی از آن‌ها می‌پردازیم.
۱. رده‌بندی مثال‌ها با توجه به فرایند یا نحوه تولید آن‌ها
دالبرگ و هاسمن (۱۹۹۷، نقل شده در: کثیری، ۱۳۸۸) از منظر نحوه تولید، مثال‌ها را در چهار رده زیر دسته‌بندی کرده‌اند:
مثالهایی که از حافظه فراخوانی می‌شوند
این‌گونه مثال‌ها معمولاً اولین مثال‌های در دسترس هستند و بدون تفکر زیاد در مورد مسئله، و با تکیه بر محفوظات، به‌عنوان اولین جواب ممکن بیان می‌شوند. در این مثال‌ها، به دلیل فوریت در ارائه یا عدم تفکر و تمرکز کافی، ضریب اشتباه بالاست و همین موضوع، باعث می‌شود که مثال‌های نادرست فراوانی بین آن‌ها دیده شود. برای نمونه، در بیان مثال برای دو عددی که مجموعشان برابر ۱۰۰ است، ممکن است بلافاصله فقط پاسخ ۵۰+۵۰ داده شود و برای تولید مثال‌های بیشتر، تولیدکننده پاسخ‌های نادرستی ارائه کند.
مثالهایی که متکی بر آزمون و خطا هستند
این نوع مثال‌ها گاهی به اتکای یک رهیافت ساده و آشنا عرضه می‌شوند و یادگیرنده، تنها با استفاده از روش‌های مبتدی، آن‌ها را می‌سازد. این‌گونه مثال‌ها، اعتبار چندانی ندارند و به نتیجه رسیدن یا نرسیدن آن‌ها بیشتر شانسی است. مثلاً فرض کنید وقتی از دانش‌آموز بخواهید دو عدد مثال بزند که مجموعشان ۱۰۰ باشد، پاسخ‌های ۵۰+۵۰، ۹۰+۱۰ یا ۲۰+۸۰ را دریافت کنید. ولی اگر از وی بخواهید دو عددی را مثال بزند که هیچ‌کدام رقم صفر نداشته باشند، برایش مشکل باشد.
مثالهایی که به وسیله بازبینی و تغییر یا اصلاح پاسخ‌های قبلی ارائه می‌شوند
این مثال‌ها با همان رویکرد آزمون و خطا به دست می‌آیند، با این تفاوت که آزمون‌ها با یک رهیافت ذهنی هدایت می‌شوند و مانند حالت قبل شانسی نیستند. درواقع، یک مرحله پیشرفته‌تر و سازمان‌یافته‌تر از حالت قبل هستند، یک قدم به پاسخ نزدیک‌ترند و با کمی صبر و حوصله به پاسخ درست منتهی می‌شوند.
مثالهایی که با روش‌های نظام‌وار تولید می‌شوند
استفاده از یک رهیافت منظم ذهنی در تولید مثال‌ها، نشانه تسلط یادگیرنده بر مفهوم مورد نظر است. با این رویکرد، شخص قادر است چند پاسخ درست یا در بعضی موارد، رده‌هایی از پاسخ‌های درست را بیان کند.
۲. رده‌بندی مثال‌ها با توجه به ماهیت آن‌ها
ریسلند و میشنر (۱۹۸۷)، واتسون و میسون (۲۰۰۲)، لیز و همکارانش (۲۰۰۶)، الکوک و انگلیز (۲۰۰۸) و ریسلند (۱۹۹۴، نقل شده در: گدنبرگ و میسون، ۲۰۰۸). چهار دسته مثال به شرح زیر ارائه دادند که دارای اهمیت زیادی هستند، ولی الزاماً از هم مجزا نیستند و با هم اشتراک دارند که به هرکدام به اختصار می‌پردازیم.
مثال‌های شروع‌کننده
این مثال‌ها در ابتدای هر بحث، برای ایجاد انگیزه و تحریک علاقه، شروع و ورود به مطلب، و توضیح چگونگی رشد و توسعه یک ایده به‌کار می‌روند و می‌توانند زمینه مناسبی برای ورود به تعریف‌ها و اصول و استنتاج‌ها باشند. ویژگی مهم این مثال‌ها آن است که قادرند مفاهیم اساسی را منتقل کنند، درکشان به آسانی و بدون کمک ابزارهای اضافی ممکن است و قابل تعمیم به حالت‌های کلی‌اند. برای نمونه می‌توان به نمودار گرافیکی y=x۲ در تدریس سهمی‌ها اشاره کرد. مثال‌های الگویابی که هدفشان کشف یک الگو یا ارائه شواهدی برای قابل قبول بودن یک ادعاست، در رده «مثال‌های شروع‌کننده» قرار می‌گیرند.
مثال‌های مرجع
این مثال‌ها قبلاً آموخته شده‌اند و برای بررسی حدس‌ها یا بازبینی مفاهیم از آن‌ها استفاده می‌شود و در شکل‌دهی و توسعه درک و فهم به‌کار می‌روند. به آن‌ها به‌طور مکرر ارجاع داده می‌شود؛ زیرا برای ایجاد ارتباط بین نتایج و مفاهیم، توانایی بالقوه و نقش اساسی دارند. برای نمونه، y=|x| مثالی از یک تابع پیوسته در مجموع عددهای حقیقی (R) است که در یک نقطه از دامنه‌اش یعنی نقطه صفر، مشتق‌پذیر نیست.
مثال‌های عام
این مثال‌ها، کلی و انعطاف‌پذیرند و مانند الگو و مدل هستند و به این دلیل، مثال‌های کلی و عام نامیده شده‌اند. این مثال‌ها می‌توانند کلیتی از مفاهیم، رویه‌ها یا اثبات‌ها را نشان دهند و به‌عنوان نماینده‌ای از یک کلاس یا رده به حساب آیند. فرودنتال (۱۹۸۳، نقل شده در: لیز و همکاران، ۲۰۰۶)، مثالهایی با چنین قابلیت‌هایی را «پیش‌الگو» نامیده است. از نظر میسون و پیم (۱۹۸۴) نیز مثال‌های عام، بازنمایی‌های شفافی از موضوع‌های کلی هستند که اجازه می‌دهند شخص یک کلیت را از طریق یک حالت خاص دریافت کند. برای نمونه، انتخاب حرف x برای نشان دادن مجهول، استفاده از عبارت ۲n برای نشان دادن عددهای زوج، یا به‌کار بردن ضابطه y=f(x) برای معرفی تابع، مصداق‌هایی برای مثال‌های عام هستند.
مثال‌های نقض
این مثال‌ها برای ایجاد تغییر در قضیه‌ها، تعریف‌ها و نظریه‌ها و نیز برای رد و تکذیب حدس‌ها و فرض‌های نادرست به‌کار می‌روند. پلد و زاسلاوسکی (۱۹۹۷) سه نوع خاص از مثال‌های نقض را با عنوان «مثال‌های نقض خاص» و «مثال‌های نقض نیمه‌عمومی» و «مثال‌های نقض عمومی یا عام» مشخص و برای هرکدام نمونه‌ای معرفی کرده‌اند. مثال نقض خاص، مانند عد ۲ در رد این ادعا که «تمامی عددهای اول فرد هستند»، تنها یک مثال در این زمینه است. مثال نقض نیمه‌عمومی، مانند در رد این ادعا مطرح می‌شود که «حاصل‌ضرب دو عدد گنگ همیشه گنگ است» که با ایجاد تغییری در آن (مانند تغییر ۸ به ۱۸)، می‌توان به مثال‌های بیشتری دست یافت. از مثال نقض‌های عمومی در اغلب موارد برای اثبات نادرستی یک ادعا استفاده می‌شود و زمینه تولید مثال‌های نقض بیشتری را هم فراهم می‌کنند.
۳. رده‌بندی مثال‌ها با توجه به کاربرد آن‌ها
بعضی از آموزشگران ریاضی مثال‌ها را در رده‌های مطابق با موقعیت‌های ویژه استفاده از آن‌ها طبقه‌بندی می‌کنند. مفاهیم غالباً در رده‌بندی اشیای ریاضی نقش دارند و تعیین اینکه آیا یک شیء ریاضی به یک رده تعلق دارد یا نه، از طریق درک مفاهیم و مقایسه اشیا با مفاهیم صورت می‌گیرد.
رولند و زاسلاوسکی (۲۰۰۵) بین مثالهایی که برای ارائه استدلال و به‌ویژه نمونه‌هایی از تعمیم آورده می‌شوند و مثالهایی که برای ایجاد مهارت در به‌کارگیری رویه‌ها به‌کار می‌روند، تمایز قائل شده‌اند. از نظر آنان، به دلیل نقشی که مثال‌ها در درک عمیق‌تر بعضی مفاهیم دارند، می‌توان آن‌ها را به‌عنوان تسهیل‌کننده درک و جذب یک مفهوم رده‌بندی کرد.
گری و تال (۱۹۹۴، نقل شده در: لیز و همکاران، ۲۰۰۶) بر این باورند که از یک مثال می‌توان در دو جنبه متفاوت رویه و مفهوم استفاده کرد. مثلاً در تابع ۳+۲x=y، معلم ممکن است آن را به‌عنوان مفهوم یک تابع خطی ارائه دهد، ولی دانش‌آموز آن را به‌عنوان رویه‌ای برای رسم نمودار تابع خطی در نظر بگیرد. بنابراین از دیدگاه پداگوژیکی، می‌توانیم بین مثالهایی از یک مفهوم (از قبیل مثلث‌ها، عددهای صحیح، بخش‌پذیری بر ۳، و چندجمله‌ها) و مثالهایی از کاربرد یک رویه (مانند یافتن مساحت یک مثلث، یافتن خارج قسمت یک عدد صحیح بخش‌پذیر بر ۳ و یافتن ریشه‌های یک‌جمله‌ای) تمایز قائل شویم.
چند نوع از مثال‌های کاربردی به شرح زیر معرفی می‌شوند:
مثال‌های حل شده
منظور از «مثال‌های حل شده» مسائلی هستند که دارای حل گام به گام‌اند، به‌صورت مرتب و منظم تهیه و تدوین شده‌اند و بالقوه خودآموز و خودتشریحی‌اند. معمولاً این‌گونه مثال‌ها توسط آموزشگران یا تهیه‌کنندگان منابع درسی برای یادگیرندگان طراحی می‌شوند و دانش‌آموزان با الگوبرداری از این مثال‌ها، از آن‌ها در موقعیت‌های مشابه استفاده می‌کنند (رایس و رنکل، ۲۰۰۲).
از این مثال‌ها به دلیل راه‌حل گام به گام و تشریح هر گام، می‌توان برای معرفی و شرح تکنیک‌های خاص به‌کارگرفته‌شده استفاده کرد و آن‌ها را به‌عنوان نمونه و الگو به یادگیرندگان ارائه داد (آتکینسون و همکاران، ۲۰۰۰).
طی دهه‌های گذشته استفاده از مثال‌های حل‌شده، توسط آموزشگران ریاضی مورد تأکید قرار گرفته و تمایل یادگیرندگان به استفاده از مثال‌های حل‌شده، معلوم شده است (رایس و رنکل، ۲۰۰۲). محققان عقیده دارند که استفاده مناسب از مثال‌های حل شده، به شرط درک فرایندها و ارتباط‌های موجود، تأثیر بسزایی در آموزش روش حل مسئله و کسب مهارت‌های شناختی دارد.
مثال‌های تمرینی
به اعتقاد واتسون و میسون (۲۰۰۶) «مثال‌های تمرینی» بدون حل هستند، به‌عنوان تکلیف به یادگیرنده ارائه می‌شوند و هدفشان ایجاد تبحر حل مسائل در اوست. این مثال‌ها می‌توانند یادگیری فراگیرندگان را افزایش دهند و به‌ویژه عملکرد آنان را در حل مسئله سرعت بخشند، به شرطی که طراحی و ارائه آن‌ها طوری باشد که فراگیرندگان را به خودتشریحی و خوداستدلالی تشویق کنند (لیز و همکاران، ۲۰۰۶). از مثال‌های تمرینی می‌توان برای امتحان عملکرد و ارزیابی درک فراگیرندگان استفاده کرد. این نوع مثال‌ها احتمالاً باید نسبت به مثالهایی که به منظور بالا بردن قوه تعمیم طراحی می‌شوند، ساختاری مشکل‌تر داشته باشند.
مثال‌های از پیش طرح‌شده و مثال‌های فی‌البداهه (فوری)
«مثال‌های از پیش طراحی‌شده» مثالهایی هستند که معلم از قبل آن‌ها را طراحی کرده است، از نحوه اجرایشان آگاهی دارد و قصدش این است که آن مثال‌ها را با تدریس خود تلفیق کند. بنابراین مثال‌ها در طراحی تدریس معلمان، متن درسی که برای دانش‌آموزان آماده می‌کنند، کتاب درسی، منابع تدریس یا گفته‌ها و فعالیت‌های معلمان دیده می‌شوند (زودیک و زاسلاوسکی، ۲۰۰۸). در حالی‌که «مثال‌های فی‌البداهه و فوری» از قبل طراحی نشده‌اند، در لحظه و فوری برحسب نیاز ساخته می‌شوند و انتخابشان مستلزم تصمیم‌گیری در لحظه است.
یک مثال از پیش تعیین‌شده می‌تواند چند مؤلفه فی‌البداهه و فوری را درون خود داشته باشد که معلم هنگام طراحی مثال‌های محیط از آن‌ها آگاه نباشد، ولی در تعاملات کلاسی بروز کنند. عموماً مثال‌های از پیش طراحی‌شده، از منابع در دسترس معلمان و عمدتاً از کتاب‌های درسی استخراج می‌شوند و می‌توان برای سطح خاصی از دانش‌آموزان یا مثلاً به‌صورت درجه‌بندی‌شده آن‌ها را ارائه کرد.
این لحظه‌ها می‌توانند برای معلمان فرصت‌هایی برای یادگیری باشند و یادگیری مزبور به غنی شدن فضای مثال آن‌ها نیز منجر می‌شود. از نظر زودیک و زاسلاوسکی، دو هدف عمده و مهم از کاربرد مثال‌های فی‌البداهه و فوری عبارت‌اند از:
۱. پاسخ به اظهارات دانش‌آموزان، از قبیل ادعاهای نادرست، معمولاً با مثال‌های نقض؛
۲. تشریح بیشتر مثال‌های از پیش طراحی‌شده و محدودیت‌ها و شرایط آن‌ها.
مثال‌های تاریخی
در بیانیه مشهور ۷۵ نفر از مشهورترین ریاضی‌دانان که در سال ۱۹۶۱ درباره برنامه درسی ریاضی دبیرستان منتشر شد و یکی از معتبرترین سندهای تاریخی در زمینه آموزش ریاضی محسوب می‌شود، آمده است: «یکی از بزرگ‌ترین امتیازها برای دانش‌آموزان هر رشته یا موضوع، خواندن سرگذشت و تاریخچه آن است. زیرا علم همیشه هنگامی به‌طور کامل ذاتی و حفظ می‌شود که از نقطه آغازین آن شروع شود»
البته ساختن مثالهایی که در کلاس درس قابل استفاده و در ارائه دیدگاه‌های تاریخی ریاضی پشتیبان تدریس معلمان باشند، مشکلی جدی است. بخشی از این مشکل به ماهیت مثال‌ها یا محدودیت‌های فیزیکی و تاریخی آن‌ها مربوط می‌شود و همین موضوع معلمان را در استفاده از مثال‌ها در تدریس به دانش‌آموزان دچار چالش جدی می‌کند.
مثال‌های نوعی
منظور از «مثال نوعی»، مثالی است که به‌صورت نمونه‌ای برای یک مفهوم، در ذهن یادگیرنده وجود دارد. در اولین قدم، وی با آن نمونه، درستی یا نادرستی آن مفهوم را می‌سنجد. این الگوها به‌صورت مستقیم و بی‌واسطه (یا شهودی) درک و به‌عنوان نماینده مفهوم و بدون نیاز به تأیید یا استدلال خاصی، توسط یادگیرنده پذیرفته می‌شوند (تسامیر و همکاران، ۲۰۰۸). البته تکیه صرف بر مثال‌های نوعی محدودکننده است و امکان دارد تأثیر منفی ناخواسته‌ای بر درک مفهومی و توانایی‌های استدلالی یادگیرندگان بگذارد (فیشباین، ۱۹۹۳).
نتیجه‌گیری
مثال‌ها از عناصر قطعی و غیرقابل انکار مؤثر بر کارامدی فراگیرندگان هستند. از این‌رو یادگیری بیشتر در مورد یک موضوع، مبتنی بر امکان دستیابی به مثال‌های بیشتر، چگونگی ساخت چنین مثالهایی، تقویت ارتباط‌های داخلی آن‌ها و توسعه محرک‌ها و توانایی دستیابی سریع به انواع مثال‌هاست. بسیاری از فراگیرندگان مثال‌ها را به منظور توسعه فضای مثال، خودبازسازی می‌کنند. آن‌ها در این فرایند، به اصلاح بدفهمی‌ها می‌پردازند، به جنبه‌های جدیدی از درک مفهوم دست می‌یابند و نیز از فضای مثالشان در برقراری ارتباط با دیگران استفاده می‌کنند قرار گرفتن یک فضای غنی از مثال‌ها در دسترس معلم‌ها می‌تواند تأثیر قوی و ارزشمندی بر ارائه مفاهیم و شیوه‌های بازنمایی آن‌ها داشته باشد. چنین فضایی به‌طور غیرمستقیم هدایتگر تصور مفهومی است [۶].
منابع
1. Alcock, L. Matthew, I. Doctoral student use of examples in evaduation and provting contiecture, 2008.
2. Goldenberg, P. Mason, J., “Shedding light on and with example Spaces”. Educ Stud Math. 69. 183 - 194, 2008.
3. Hiebert, J., Gallimore, R. & Stigler, J. W., “A Knowledge Base for the Teaching Profession”: What Would It Look Like and How Can We Get One? Educational Researcher.31(5), 2002.
4. Kennedy, M. M., “Knowledge and Teaching, Teachers and Teaching: Theory and Practice”. 8(3): 354 - 370, 2002.
5. Leinhardt, G., “Instructional Explanations: A Commonplace for Teaching and Location for Contrast”. In V. Richardson (Ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching. 4th ed. Washington DC: American Educational Research Association. 333 - 357, 2001.
6. Liz.bills. Dreyfus, T. Mason, J. Tsamir, P. Watson, AZaslavsky, O., “Examplification in mathematics Education”. Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Prague, Czech Republic:PME, 2006.
7. Rowland, T., “The purpose, design and use of examples in the teaching of elementary mathematics”. Educ Stud Math. 69. 149 - 163, 2008.
8. Sulaiman, F & Mohamed, M., “Choosing Mathematical Examples: Routine but Not an Easy Task”. Jurnal Teknologi, 63 (2): 45- 50, 2013.
9. Watson, A & Mason, J., “Student - Generated Examples in the Learning of Mathematics”. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education. 2 (2) p 237 - 249, 2002.
10. Zodik, I. Zaslavsky, O., “Characteristics of teacher’s choice of examples in and for the Mathematics classroom”. Educ Stud Math 69: 165 - 182, 2008.
11. Zaslavsky, O & Peled, I., “Inhibiting factors in generating examples by mathematics teachers and student-teachers: The case of binary operation”. Journal for Research in Mathematics Education, 27 (1), 67 - 78, 1997.
۱۲. کثیری، حسین (۱۳۸۸). نقش مثال در آموزش ریاضی، پایان‌نامه کارشناسی ارشد منتشر نشده آموزش ریاضی. دانشگاه شهید بهشتی. دانشکده علوم ریاضی.